Question

如圖,已知拋物線的焦點為F，過F的直線交拋物線于M、N兩點，其準線與x軸交于K點.

（1）求證：KF平分∠MKN；
（2）O為坐標原點，直線MO、NO分別交準線于點P、Q，求的最小值.

Answer 1

（1）見解析；（2）8.

解析試題分析：（1）只需證，設出M，N兩點坐標和直線MN方程，再把直線方程與拋物線方程聯立，由韋達定理可得證；（2）由（1）設出的M，N兩點坐標分別先求出P、Q兩點坐標，還是把設出的直線MN方程與拋物線方程聯立，由韋達定理把表示出來，再根據直線MN的傾斜角的范圍求的最小值.
試題解析：（1）拋物線焦點坐標為，準線方程為.       2分
設直線MN的方程為。設M、N的坐標分別為
由,   ∴.  4分
設KM和KN的斜率分別為，顯然只需證即可. ∵，
∴ ，        6分
（2）設M、N的坐標分別為，由M，O，P三點共線可求出P點的坐標為，由N，O，Q三點共線可求出Q點坐標為，    7分
設直線MN的方程為。由
∴則
     9分
又直線MN的傾斜角為，則 
∴ .10分
同理可得.  13分
(時取到等號) .       15分
考點：1、拋物線的方程及性質；2、直線與曲線相交的性質.