Question

已知

（1）求函數在上的最小值；

（2）對一切恒成立，求實數的取值范圍；

（3）證明：對一切，都有成立.

 

Answer 1

【答案】

(1) ;（2）；（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）先求的根得，然后討論與定義域的位置，分別考慮其單調性，因為，故只有兩種情況①，此時0，最小值為；②，此時遞減，遞增，故最小值為；（2）將不等式參變分離得，，記函數，只需求此函數的最小值即可；（3）證明，一般可構造差函數或商函數，即，或（需考慮的符號），然后只需考慮函數的最值，如果上述方法不易處理，也可說明，雖然這個條件不是的等價條件，但是有此條件能充分說明成立，該題可以先求先將不等式恒等變形為，然后分別求的最小值和函數

的最大值即可.

試題解析：（1）由已知知函數的定義域為，，

當單調遞減，當單調遞增.

①當時，沒有最小值；

②當，即時，；

③當即時，在上單調遞增，；

（2），則，

設，則，

①單調遞減，②單調遞增，

，對一切恒成立，.

（3）原不等式等價于，

由（1）可知的最小值是，當且僅當時取到，

設，則，

易知，當且僅當時取到，

    從而對一切，都有成立.

考點：1、導數在單調性方面的應用；2、利用導數求函數的最值.