Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是離心率為的橢圓
C：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，直線：x＝－將線段F₁F₂分成兩段，其長度之比為1 : 3．設(shè)A，B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在直線l上，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點(diǎn)．

(Ⅰ) 求橢圓C的方程；
(Ⅱ) 是否存在點(diǎn)M，使以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F₂，若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

(1)  (2)

解析試題分析：解：(Ⅰ) 設(shè)F2(c，0)，則＝，所以c＝1．因?yàn)殡x心率e＝，所以a＝．
所以橢圓C的方程為．   4分
(Ⅱ) 當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，直線AB方程為x＝－， 6分
此時(shí)P(，0)、Q(,0) ，．不合；
當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)存在點(diǎn)M(－，m) (m≠0)，直線AB的斜率為k， ，
．由  得，則 －1＋4mk＝0，
故k＝．此時(shí)，直線PQ斜率為，PQ的直線方程為．
即 ．
聯(lián)立消去y，整理得  ．
所以，． 8分
由題意0，于是
(x1－1)(x2－1)＋y1y2
                      =0．
因?yàn)镸在橢圓內(nèi)，符合條件； 12分
綜上，存在兩點(diǎn)M符合條件，坐標(biāo)為． 13分
考點(diǎn)：橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是對(duì)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的運(yùn)用，要借助于代數(shù)方法聯(lián)立方程組來的得到，屬于基礎(chǔ)題。