Question

如圖，是等邊三角形，，，將沿折疊到的位置，使得．

(1)求證：；
(2)若，分別是,的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．

Answer 1

(1)見解析；(2).

解析試題分析：(1)根據(jù)已知條件可得以及，有直線與平面垂直的判定定理可得，再根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理可得；(2)有邊的關(guān)系，設(shè)，則，再由線段，，互相垂直，以三邊所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面的法向量為以及平面的一個(gè)法向量是，將所求二面角的余弦值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求這兩個(gè)法向量的夾角的余弦值問(wèn)題.
試題解析：(1)證明：∵，∴，
又∵，且,
∴，
∵，
∴.
(2)∵是等邊三角形，
，，
不妨設(shè)，則，
又∵，分別為、的中點(diǎn)，
由此以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則有，，，，，，
∴，.
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，
∴.
又平面的一個(gè)法向量是，
∴，
∴二面角的余弦值為.                  .12分
考點(diǎn)：1.直線與平面垂直的判定定理；2.直線與平面垂直的性質(zhì)定理；3.二面角；4.平面的法向量；5.空間向量的數(shù)量積及夾角