Question

已知函數f(x)＝x²－(1＋2a)x＋aln x(a為常數)．
(1)當a＝－1時，求曲線y＝f(x)在x＝1處切線的方程；
(2)當a>0時，討論函數y＝f(x)在區間(0,1)上的單調性，并寫出相應的單調區間．

Answer 1

（1）y＝2x.
（2）函數f(x)的單調增區間是，單調減區間是.

解：(1)當a＝－1時，f(x)＝x²＋x－ln x，
則f′(x)＝2x＋1－，
所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.
所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的方程為
y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
(2)由題意得f′(x)＝2x－(1＋2a)＋
＝
＝ (x>0)．
由f′(x)＝0，得x₁＝，x₂＝a.
①當0<a<時，由f′(x)>0且x>0，
得0<x<a或<x<1；
由f′(x)<0且x>0，得a<x<.
所以函數f(x)的單調遞增區間是(0，a)和，單調遞減區間是；
②當a＝時，f′(x)＝≥0，當且僅當x＝時，
f′(x)＝0.
所以函數f(x)在區間(0,1)上是單調遞增函數；
③當<a<1時，由f′(x)>0且x>0，
得0<x<或a<x<1；
由f′(x)<0且x>0，得<x<a.
所以函數f(x)的單調遞增區間是和(a,1)，單調遞減區間是；
④當a≥1時，由f′(x)>0且x>0，
得0<x<；
由f′(x)<0且x>0，得<x<1.
所以函數f(x)的單調增區間是，單調減區間是.