Question

已知向量，，設函數的圖象關于直線對稱，其中ω為常數，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）若將y=f（x）圖象上各點的橫坐標變為原來的，再將所得圖象向右平移個單位，縱坐標不變，得到y=h（x）的圖象，若關于x的方程h（x）+k=0在區間上有且只有一個實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用向量的數量積公式化簡函數，結合函數的圖象關于直線對稱，且ω∈（0，1），即可求得函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）確定h（x）=2sin（2x-），關于x的方程h（x）+k=0在區間上有且只有一個實數解，等價于2sint+k=0在上有且只有一個實數解，由此可得結論．
解答：解：（Ⅰ）∵向量，，
∴=（cos²ωx-sin²ωx，sinωx）•=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+）
∵函數圖象關于直線對稱，∴2sin（πω+）=±2
∴πω+=kπ+（k∈Z），即ω=k+（k∈Z）
∵ω∈（0，1），∴k=0，ω=
∴f（x）=2sin（x+）；
（Ⅱ）若將y=f（x）圖象上各點的橫坐標變為原來的，再將所得圖象向右平移個單位，縱坐標不變，得到y=h（x）=2sin（2x-）的圖象，
令2x-=t，∵x∈，∴
∴關于x的方程h（x）+k=0在區間上有且只有一個實數解，即2sint+k=0在上有且只有一個實數解，
即y=2sint，的圖象與y=-k有且只有一個交點，
∴-＜k≤或k=-2．
點評：本題考查向量的數量積運算，考查函數解析式的確定，考查圖象的變換，考查解的問題，確定函數的解析式是關鍵．