Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點，直線，設圓的半徑為1，圓心在上.

（1）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線的方程；

（2）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） 或（2） 或

【解析】

（1）通過直線與直線的交點求得圓心 ，寫出圓的方程.再分斜率存在和不存在兩種情況，設出切線方程，，再利用圓心到直線的距離等于半徑求解.

（2）設點 ，根據，求得關于點M的圓方程，再根據點 在圓C上，然后若這樣的點存在，則由兩圓相交求解.

（1）根據題意，圓心在直線上，也在直線上，

解得 ，所以 ，

所以圓 ，

當斜率存在時，過點 的切線方程可設為，

即，

則，

解得 或 ，

所以切線直線方程為 或 ，

當斜率不存在時，直線 不與圓相切，

綜上：所求切線方程為 或，

（2）設點 ，

因為，

則 ，

即點的軌跡方程為，

又點在圓上，所以，

若存在這樣的點存在，

則與有交點，

即兩圓的圓心距 滿足 ，

即，

解得 或