Question

【題目】已知關于x的二次函數f（x）=ax2﹣4bx+1．設集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b，求函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率
（1）已知關于x的二次函數f（x）=ax2﹣4bx+1．設集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b，求函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率；
（2）在區間[1，5]和[2，4]上分別取一個數，記為a，b，求方程 + =1表示焦點在x軸上且離心率小于 的橢圓的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=ax2﹣4bx+1的圖象的對稱軸為直線x= ，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在區間[1，+∞）上為增函數，當且僅當a＞0且 ≤1，即2b≤a．若a=1，則b=﹣1；

若a=2，則b=﹣1或1；

若a=3，則b=﹣1或1．

∴事件包含基本事件的個數是1+2+2=5．

而滿足條件的數對（a，b）共有3×5=15個

∴所求事件的概率為 =

（2）解：方程 + =1表示焦點在x軸上且離心率小于 的橢圓，故

化簡得

又a∈[1，5]，b∈[2，4]，畫出滿足不等式組的平面區域，如圖陰影部分所示，

陰影部分的面積為 ，故所求的概率P=

【解析】(1)首先根據二次函數的解析式求得其對稱軸再根據函數在指定區間上的增減性得出a、b之間的大小關系然后結合a、b分別是集合P和Q中的一個數據列舉出滿足a、b大小關系的情況再求出a、b取值的所有基本事件的個數為15，最后根據概率公式計算即可得解。（2）根據題意如圖所示作出不等式組的平面區域由已知可得概率等于陰影面積比上矩形的面積即可。
【考點精析】關于本題考查的幾何概型，需要了解幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可能性相等才能得出正確答案．