Question

【題目】已知函數f(x)=()|x|,若函數g(x)=f(x﹣1)+a(ex﹣1+e﹣x+1)存在最大值M,則實數a的取值范圍為_____

Answer 1

【答案】a≤0

【解析】

由函數f(x)=()|x|對稱性和單調性可得f(x﹣1)的對稱性和單調性，由h(x)=ex﹣1+e﹣x+1的對稱性和單調性，通過討論得g(x)=f(x﹣1)+a(ex﹣1+e﹣x+1)得對稱性和單調性，利用對稱性和單調性可得結果.

顯然f(x)=()|x|是偶函數,且f(x)在上單調遞減,

故y=f(x﹣1)的函數圖象關于直線x=1對稱,且y=f(x﹣1)在(﹣∞,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減.

令h(x)=ex﹣1+e﹣x+1,則h(1+x)=ex+e﹣x,h(1﹣x)=e﹣x+ex,故h(1﹣x)=h(1+x),

∴h(x)的圖象關于直線x=1對稱,

故g(x)=f(x)+ah(x)的圖象關于直線x=1對稱.

∵g(x)由最大值M,∴g(x)在[1,+∞)上有最大值M.

h′(x)=ex﹣1,

∴x>1時,h′(x)>0,∴h(x)在[1,+∞)上單調遞增,

(1)若a≤0,則g(x)=f(x﹣1)+ah(x)在[1,+∞)上單調遞減,

故g(x)存在最大值,符合題意.

(2)若a>0,當x≥1時,g′(x)=﹣()x﹣1ln2+a(ex﹣1),

顯然g′(x)是增函數,故g′(x)≥g′(1)=﹣1,

又x→+∞時,g′(x)→+∞,故存在x0∈(1,+∞),使得當x>x0時,g′(x)>0,

∴g(x)在(x0,+∞)上單調遞增,故g(x)不存在最大值,不符合題意.

綜上,a≤0.

故答案為：a≤0