Question

在1和100之間插入個實數，使得這（n+2）個數構成遞增的等比數列，將這（n+2）個數的積記作T_n，n∈N^*；
（1）求數列{T_n}的通項公式；
（2）設b_n=2lgT_n-3，求數列的前n項和S_n．

Answer 1

解：（I）∵在數1 和100之間插入n個實數，使得這n+2個數構成遞增的等比數列，設插入的這n個數分別為a₁，a₂，a₃，…a_n
由等比數列的性質可得a₁•a_n=a₂•a_n-1=…=1×100
∴T_n=10ⁿ⁺²
又∵a_n=lgT_n，
∴a_n=lg10ⁿ⁺²=n+2，n≥1．
（II）∵b_n=2lgT_n-3=2n+4-3=2n+1
∴S_n=
=
兩式相減可得
==

分析：（I）根據在數1 和100之間插入n個實數，使得這n+2個數構成遞增的等比數列，我們易得這n+2項的幾何平均數為10，故T_n=10ⁿ⁺²，進而根據對數的運算性質我們易計算出數列{a_n}的通項公式；
（II））由b_n=2lgT_n-3=2n+1可得，從而可利用錯位相減求和即可
點評：本題考查的知識點是等比數列的通項公式及錯位相減求和方法的應用，其中根據已知利用等比數列的性質，是解答本題的關鍵．