Question

【題目】已知圓： （），設為圓與軸負半軸的交點，過點作圓的弦，并使弦的中點恰好落在軸上．

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）延長交曲線于點，曲線在點處的切線與直線交于點，試判斷以點為圓心，線段長為半徑的圓與直線的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）（）．（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由題意得 ，設中點為 則

得到關于 的方程就是點 的軌跡的方程.（2）設直線的方程為求出直線的方程并聯立得到點坐標，由兩點距離公式求出，再由點到直線的距離公式求出距離則線段長為半徑的圓與直線相切.

試題解析：（Ⅰ）設，由題意可知， ， 的中點， ，

因為， ， ．

在⊙C中，因為，∴，

所以，即（），

所以點的軌跡的方程為： （）．

（Ⅱ） 設直線MN的方程為， ， ，直線BN的方程為，

，可得，

，則點A，所以直線AM的方程為，

， ，可得，

直線BN的方程為，

聯立可得，

所以點， ， ，

∴與直線MN相切．