Question

【題目】如圖，矩形ABCD所在的平面與正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中點． （Ⅰ）求證：QB∥平面AEC；
（Ⅱ）求證：平面QDC⊥平面AEC；
（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面體ABCEQ的體積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：連接BD交AC于O，連接EO． 因為 E，O分別為QD和BD的中點，則EO∥QB．
又 EO平面AEC，QB平面AEC，
所以 QB∥平面AEC．
（Ⅱ）證明：因為矩形ABCD所在的平面與正方形ADPQ所在的平面相互垂直，CD平面ABCD，CD⊥AD，
所以CD⊥平面ADPQ．
又AE平面ADPQ，所以CD⊥AE．
因為AD=AQ，E是QD的中點，所以AE⊥QD．
所以AE⊥平面QDC．
所以平面QDC⊥平面AEC．
（Ⅲ）解：多面體ABCEQ為四棱錐Q﹣ABCD截去三棱錐E﹣ACD所得，
所以 ．

【解析】（Ⅰ）連接BD交AC于O，連接EO．證明EO∥QB，即可證明QB∥平面AEC．（Ⅱ）證明CD⊥AE，AE⊥QD．推出AE⊥平面QDC，然后證明平面QDC⊥平面AEC．（Ⅲ）通過多面體ABCEQ為四棱錐Q﹣ABCD截去三棱錐E﹣ACD所得，計算求解即可．
【考點精析】利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．