Question

（2009•聊城一模）某校有一貧困學生因病需手術治療，但現在還差手術費1.1萬元，團委計劃在全校開展愛心募捐活動，為了增加活動的趣味性吸引更多學生參與，特舉辦“搖獎100%中獎”活動．凡捐款10元者，享受一次搖獎機會，如圖是搖獎機的結構示意圖，搖獎機的旋轉盤是均勻的，扇形區域A，B，C，D，E所對應的圓心角的比值分別為1：2：3：4：5．相應區域分別設立一、二、三、四、五等獎，獎品分別為價值分別為5元、4元、3元、2元、1元的學習用品．搖獎時，轉動圓盤片刻，待停止后，固定指針指向哪個區域（邊線忽略不計）即可獲得相應價值的學習用品（如圖指針指向區域C，可獲得價值3元的學習用品）．
（Ⅰ）預計全校捐款10元者將會達到1500人次，那么除去購買學習用品的款項后，剩余款項是否能幫助該生完成手術治療？
（Ⅱ）如果學生甲捐款20元，獲得了兩次搖獎機會，求他獲得價值6元的學習用品的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設搖獎一次，獲得一、二、三、四、五等獎的事件分別記為A，B，C，D，E．其概率分別為P(A)=

1

1+2+3+4+5

=

1

15

，P(B)=

2

15

，P(C)=

3

15

=

1

5

，P(D)=

4

15

，P(E)=

5

15

=

1

3

．由此能求出結果．
（ II）記事件“學生甲捐款20元獲得價值6元的學習用品”為F，P(F)=

C

1 2

×

1

15

×

5

15

+

3

15

×

3

15

+

C

1 2

×

2

15

×

4

15

=

7

45

．由此能求出學生甲捐款20元獲得價值6元的學習用品的概率．

解答：解：（Ⅰ）設搖獎一次，獲得一、二、三、四、五等獎的事件分別記為A，B，C，D，E．
則其概率分別為P(A)=

1

1+2+3+4+5

=

1

15

，P(B)=

2

15

，P(C)=

3

15

=

1

5

，P(D)=

4

15

，
P(E)=

5

15

=

1

3

．…（3分）
設搖獎一次支出的學習用品相應的款項為ζ，則的分布列為：

ζ	1	2	3	4	5
P	1 3	4 15	1 5	2 15	1 15

Eζ=1×

1

3

+2×

4

15

+3×

1

5

+4×

2

15

+5×

1

15

=

7

3

．…（6分）
若捐款10元者達到1500人次，那么購買學習用品的款項為1500Eζ=3500（元），
除去購買學習用品的款項后，剩余款項為1500×10-3500=11500（元），
故剩余款項可以幫助該生完成手術治療．…（8分）
（ II）記事件“學生甲捐款20元獲得價值6元的學習用品”為F，則P(F)=

C

1 2

×

1

15

×

5

15

+

3

15

×

3

15

+

C

1 2

×

2

15

×

4

15

=

7

45

．
即學生甲捐款20元獲得價值6元的學習用品的概率為

7

45

．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，體現了化歸的重要思想．