Question

【題目】已知函數，且．

（1）求函數在上的單調區間，并給以證明；

（2）設關于的方程的兩根為，試問是否存在實數，使得不等式對任意的及恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為；

（2）存在實數符合題意，其取值范圍是．

【解析】試題分析：（1）由可得，所以，然后利用函數單調性的定義求出函數在上的單調遞增區間為，單調遞減區間為。（2）由題意先求出的最大值為3，所以由題意可得當，不等式恒成立，構造函數，只需滿足，解得或，由此可得所求范圍，從而說明存在實數滿足題意。

試題解析：

（1）∵，

∴，

∴。

設，且，

則，

①當時， ，

∴，又，

∴，

∴，

∴函數在上單調遞增；

②當時， ，

∴，又，

∴，

∴，

∴函數在上單調遞減，

∴函數在上的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

（2）由，得，

∴是方程的兩根，

∴，

又，

∴，

故由題意得當，不等式恒成立，

設，

則只須，

解得或，

故存在實數符合題意，其取值范圍是．