Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若曲線在點處得切線方程與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）若在上為單調遞減函數，求的取值范圍；

（Ⅲ）設，求證： .

Answer 1

【答案】(1) ；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出，根據，可求得的值；（Ⅱ） 在上為單調遞減函數，等價于由題意在恒成立，即在恒成立，利用導數研究函數的單調性求出，從而可得結果；（Ⅲ）原不等式等價于.令，則，則，即，只需證明的最大值小于零即可.

試題解析：（Ⅰ） ，所以，

（Ⅱ）由題意在恒成立，即在恒成立.

設，則

，所以.

（Ⅲ）因為，不等式 ，

即.令，則，則，即.

令，由（Ⅱ）知， 在上單調遞減，

所以當時， .故當時，不等式成立.

【方法點晴】本題主要考查利用導數求函數的最值、導數的幾何意義以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數形結合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數.本題（Ⅱ）是利用方法 ① 求得的取值范圍的.