Question

已知f（x）=2lnx-

1

x

，對于任意的x₁，x₂∈（0，+∞），有|f（x₁）-f（x₂）|≥m|

1

x1

-

1

x2

|，則實數m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：利用函數f（x）的單調性，去掉絕對值，構造函數g（x）=f（x）+

m

x

，求函數的導數，利用導數和函數單調性之間的關系即可得到結論．

解答： 解：函數f（x）=2lnx-

1

x

，在x＞0時，單調遞增，
∵任意的x₁，x₂∈（0，+∞），
∴當x₁=x₂時，不等式恒成立，
不妨設任意的x₁＞x₂，則f（x₁）＞f（x₂），

1

x1

-

1

x2

＜0，
則不等式等價為f（x₁）-f（x₂）≥-m（

1

x1

-

1

x2

），
即f（x₁）+

m

x1

≥f（x₂）+

m

x2

，
令g（x）=f（x）+

m

x

，則f（x₁）+

m

x1

≥f（x₂）+

m

x2

，等價為g（x₁）≥g（x₂），
即函數g（x）=f（x）+

m

x

=2lnx-

1

x

+

m

x

單調遞增即可，
即g′（x）≥0在x＞0恒成立，
即g′（x）=

2

x

+

1

x2

-

m

x2

=

2x+1-m

x2

≥0，
則m≤2x+1恒成立，
∵x＞0，∴2x+1＞1，
則m≤1，
故答案為：m≤1．

點評：本題主要考查函數單調性的應用，利用函數單調性和導數之間的關系，構造函數是解決本題的關鍵．