Question

給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數），則m叫做離實數x最近的整數，記作{x}=m．在此基礎上給出下列關于函數f（x）=|x-{x}|的四個命題：
①函數y=f（x）的定義域為R，值域為[0，

1

2

]；
②函數y=f（x）的圖象關于直線x=

k

2

(k∈Z)對稱；
③函數y=f（x）是偶函數；
④函數y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是增函數． 其中正確的命題的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：本題為新定義問題，因為m為整數，故可取m為幾個特殊的整數進行研究，進而得到函數的圖象的草圖，結合圖象分析得到答案．

解答：解：由題意x-{x}=x-m，f（x）=|x-{x}|=|x-m|，
m=0時，-

1

2

＜x≤

1

2

，f（x）=|x|，
m=1時，1-

1

2

＜x≤1+

1

2

，f（x）=|x-1|，
m=2時，2-

1

2

＜x≤2+

1

2

，f（x）=|x-2|，
…
畫出函數的圖象如圖所示，由圖象可知正確命題為①②③，
故答案為：①②③

點評：本題是新定義問題，考查函數的性質，可結合圖象進行研究，體現數形結合思想．