Question

（2011•昌平區二模）給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數），則m叫做離實數x最近的整數，記作{x}=m，在此基礎上給出下列關于函數f（x）=x-{x}的四個命題：
①函數y=f（x）的定義域為R，最大值是

1

2

；②函數y=f（x）在[0，1]上是增函數；
③函數y=f（x）是周期函數，最小正周期為1；④函數y=f（x）的圖象的對稱中心是（0，0）．
其中正確命題的序號是

①③

．

Answer 1

分析：本題為新定義問題，因為m為整數，故可取m為幾個特殊的整數，作出函數的圖象，數形結合進行研究．

解答：解：由題意x-{x}=x-m，
f（x）=|x-{x}|=|x-m|，
m=0時，-

1

2

＜x≤

1

2

，f（x）=|x|，

m=1時，1-

1

2

＜x≤1+

1

2

，f（x）=|x-1|，
m=2時，2-

1

2

＜x≤2+

1

2

，f（x）=|x-2|，
由圖象可知正確命題為①③，
故答案為：①③．

點評：本題是新定義問題，具有一定難度，容易出錯．考查函數的性質，可結合圖象進行研究，體現數形結合思想．