Question

已知動點M到定點F（1，0）的距離比M到定直線x=-2的距離小1．
（1）求證：M點的軌跡是拋物線，并求出其方程；
（2）我們知道：“過圓上任意一點P，任意作互相垂直的弦PA、PB，則弦AB必過圓心”（定點）．受此啟發，研究下面問題：
對于拋物線y²=2px（p＞0）上某一定點P（非頂點），過P任意作互相垂直的弦PA、PB，弦AB是否經過定點？

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的定義即可得出點M的軌跡方程；
（2）設P(

y02

2p

，  y0)，A(

y12

2p

，  y1)，  B(

y22

2p

，  y2)，由PA⊥PB，可得

PA

•

PB

=0，得到關于y₁，y₂，y₀的一個關系式（*），利用點斜式可得到直線AB的方程，把（*）代入即可得到直線AB過一個定點．

解答：證明：（1）設M（x，y）到定直線x=-2的距離為d，
若x≤-2，則|MF|＞d，不符題意，所以點M在直線x=-2的右側．
于是動點M到定點F （1，0）的距離與到定直線x=-1的距離相等，
所以M點的軌跡是拋物線，其方程為y²=4x．
（2）設P(

y02

2p

，  y0)，A(

y12

2p

，  y1)，  B(

y22

2p

，  y2)，
則

PA

=(

(y1+y0)(y1-y0)

2p

，  y1-y0)，

PB

=(

(y2+y0)(y2-y0)

2p

，  y2-y0)，
因為PA⊥PB，所以

PA

•

PB

=(y1-y0)(y2-y0)(

(y1+y0)(y2+y0)

4p2

+1)=0，
因為（y₁-y₀）（y₂-y₀）≠0，所以

(y1+y0)(y2+y0)

4p2

+1=0，
即-y1y2=(y1+y2)y0+y02+4p2①．
直線AB的方程為x-

y12

2p

=

y12 2p - y22 2p

y1-y2

(y-y1)，
即x-

y12

2p

=

y1+y2

2p

(y-y1)，x-

y12

2p

=

y1+y2

2p

y-

y12+y1y2

2p

，x=

y1+y2

2p

y+

-y1y2

2p

，
把①代入得：x=

y1+y2

2p

y+

(y1+y2)y0+y02+4p2

2p

，化簡得x-(

y02+4p2

2p

)=

y1+y2

2p

(y+y0)，
故直線AB恒過定點(

y02+4p2

2p

，  -y0)．

點評：本小題主要考查拋物線的定義及其性質、直線過定點問題、如何設拋物線上的點坐標、直線的點斜式等基礎知識，考查數形結合、方程思想、化歸與轉化的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力、創新探究意識．