Question

【題目】已知是各項均為正數的等比數列，是等差數列，且.

（I）求和的通項公式；

（II）設數列滿足，求；

（III）對任意正整數，不等式成立，求正數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I），，；（II）；（III）．

【解析】

（1）設出公比和公差，將已知轉化為，的方程組，解方程組，結合，即可得到和的通項公式；

（2）將要求的算式分組后，分別用等比數列的求和公式和錯位相減法求和相加即可；

（3）將分離后，轉化為在上恒成立，進而轉化為求函數在上的最小值．

解：（1）設數列的公比為，數列的公差為，由題意，

由已知有，消去整理得：，

，解得，

，

數列的通項公式為，，

數列的通項公式為，；

（2），

，

令

令

令

；

（3）對任意正整數，不等式成立

即對任意正整數成立

記

則

，即遞增

故，

．