Question

已知橢圓D：的左焦點為F，其左右頂點為A、C，橢圓與y軸正半軸的交點為B，△FBC的外接圓的圓心P（m，n）在直線x+y=0上．
（Ⅰ）求橢圓D的方程；
（Ⅱ）已知直線，N是橢圓D上的動點，NM⊥l，垂足為M，是否存在點N，使得△FMN為等腰三角形？若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出FC的垂直平分線方程，BC的垂直平分線的方程，從而可得P的坐標，利用P（m，n）在直線x+y=0上，結合b²=1-c²，即可求得橢圓D的方程；
（Ⅱ）設N（x，y），求出|MN|，|FN|，|MF|，利用△FMN為等腰三角形，分類討論，即可求得點N的坐標．
解答：解：（Ⅰ）由題意知，圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，
設F的坐標為（-c，0）（c＞0），則FC的垂直平分線方程為…①
因為BC的中點坐標為，BC的斜率為-b
所以BC的垂直平分線的方程為…②
聯立①②解得：，
即，
因為P（m，n）在直線x+y=0上，所以…（4分）
即（1+b）（b-c）=0
因為1+b＞0，所以b=c
再由b²=1-c²求得
所以橢圓D的方程為x²+2y²=1…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：F，橢圓上的點橫坐標滿足-1≤x≤1
設N（x，y），由題意得M，則|MN|=，|FN|=，|MF|=
①若|MN|=|FN|，即=
與x²+2y²=1聯立，解得，顯然不符合條件…（9分）
②|MN|=|MF|，即
與x²+2y²=1聯立，解得：（顯然不符合條件，舍去）
所以滿足條件的點N的坐標為…（11分）
③若|FN|=|MF|，即=
解得x=0，（顯然不符合條件，舍去）
此時所以滿足條件的點N的坐標為…（13分）
綜上，存在點N或，使得△FMN為等腰三角形…（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．