Question

設函數f（x）的定義域為（0，+∞）．對任意的x＞0，y＞0．都有f(

x

y

)=f(x)-f(y)恒成立，且當x＞1時，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）探究f（x）在（0，+∞）上是否具有單調性；
（3）你能找出符合本題條件的一個函數嗎？請將你找到的函數寫出來．

Answer 1

分析：（1）由題意給式中的x，y特殊的值可得f（1）的值；
（2）由單調性的定義結合題干可證函數的單調性；
（3）由條件和結論，可找到對數函數y=log₂x符合題意．

解答：解：（1）由題意，令x=y=1，得f（1）=f（1）-f（1），
所以所求的值為：f（1）=0
（2）設0＜x₁＜x₂，令x=x₁，y=x₂，
則f(

x2

x1

)=f(x2)-f(x1)，∵0＜x₁＜x₂，
∴

x2

x1

＞1，∴f(

x2

x1

)＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）在（0，+∞）上是增函數
（3）由條件和結論，可找到函數y=log₂x符合題意．

點評：本題為抽象函數問題，解決問題的關鍵是利用好函數的性質，屬中檔題．