Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）設，若不等式對任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

(1)把a=2代入原函數解析式中，求出函數在x=1時的導數值，直接利用直線方程的點斜式寫直線方程；(2) 設 ,即h(x)>0恒成立，對函數求導，分，，三種情況得到函數單調性，進而得到結果.

（1）當時，，，切點為，

，

，

曲線在點處的切線方程為，

即.

（2）設 ，

，

不等式對任意恒成立，

即函數在上的最小值大于零.

①當，即時，在上單調遞減，

的最小值為，

由可得，

，

.

②當，即時，在上單調遞增，

最小值為，

由可得，即.

③當，即時，可得最小值為，

，

，

故.即，

綜上可得，的取值范圍是.