Question

（2010•衢州一模）對于函數f（n）=

1-(-1)n

2

（n∈N^*），我們可以發現f（n）有許多性質，如：f（2k）=0（k∈N^*）等，下列關于f（n）的性質中一定成立的是（　　）

A．f（n+1）-f（n）=1

B．f（n+k）=f（n）（k∈N^*）

C．α^f（n）=f（n+1）+αf（n）（α≠0）

D．α^f（n+1）=α-（α+1）f（n）（α≠0）

Answer 1

分析：當n=1，2，3，4，…時，f（n）=

1-(-1)n

2

的函數值為：1，0，1，0，…，然后對選項進行判斷，即可得出結論．

解答：解：當n=1，2，3，4，…時，f（n）=

1-(-1)n

2

的函數值為：1，0，1，0，…
對于A：f（2）-f（1）=-1，故A不成立；
對于B：f（n+1）≠f（n）不成立，故錯；
對于C：n為偶數，則α^f（n）=1，f（n+1）+αf（n）=1；n為奇數，則α^f（n）=α，f（n+1）+αf（n）=α；
∴C正確；
對于D：α^f（n+1）=α-（α+1）f（n）（α≠0）不成立，故錯；
故選C．

點評：本題考查函數的表示方法、函數周期性的應用、數列的表示方法等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想，屬于中檔題．