Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+bx﹣c，f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+y+4=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）若在區間 內，恒有f（x）≥2lnx+kx成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，f′（x）= +b，則f′（1）=1+b，

∵在點（1，f（1））處的切線方程為x+y+4=0，

∴切線斜率為﹣1，則1+b=﹣1，得b=﹣2，

將（1，f（1））代入方程x+y+4=0，

得：1+f（1）+4=0，解得f（1）=﹣5，

∴f（1）=b﹣c=﹣5，將b=2代入得c=3，

故f（x）=lnx﹣2x﹣3

（2）解：依題意知函數的定義域是（0，+∞），且f′（x）= ﹣2，

令f′（x）＞0得，0＜x＜ ，令f′（x）＜0得，x＞ ，

故f（x）的單調增區間為（0， ），單調減區間為（ ，+∞）

（3）解：由f（x）≥2lnx+kx，k≤﹣2﹣ 在區間 內恒成立，

設g（x）=﹣2﹣ ，則g′（x）= ，

∴g（x）在區間 上單調遞增，

∴g（x）的最小值為g（ ）=2ln2﹣8，

∴k≤2ln2﹣8

【解析】（1）由求導公式、法則求出f′（x），根據題意和導數的幾何意義求出b的值，將（1，f（1））代入方程x+y+4=0求出f（1），代入解析式列出方程求出c，即可求出函數f（x）的解析式；（2）由（1）求出函數的定義域和f′（x），求出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，即可求出函數f（x）的單調區間；（3）由f（x）≥2lnx+kx，k≤﹣2﹣ 在區間 內恒成立，求出右邊的最小值，即可得出結論．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．