【題目】已知函數
的圖像過點
，且對任意的
都有不等式
成立.若函數
有三個不同的零點，則實數
的取值范圍是__________________.
【答案】
【解析】
首先由函數的性質確定函數
的解析式，然后將原問題轉化為兩個函數有三個交點的問題，考查臨界條件，求得臨界值即可確定實數
的取值范圍.
注意到
時,
,
即
是函數
的切線，且切點坐標為
，
據此結合題意可知：是函數
的切線，且切點坐標為，
由函數的解析式有
，故：
，解得：
，
則函數的解析式為
，
函數
有三個不同的零點，
則函數
與函數
有三個不同的交點，
注意到
，
繪制函數圖像如圖所示，考查如圖所示的臨界情況，
當函數
與函數
只有兩個交點時：
若一次函數過點
，則：
且
,解得
；
若一次函數過點
，則：
且
,解得
；
若一次函數與二次函數在區間
內相切，
由
可得
，
設切點坐標為
，則切線的斜率為：
，
切線方程為：
，
整理可得：
，
由于，考查一次函數斜率與
軸截距的關系可得：
，解得：
，
則切線的斜率為：
.
綜上可得：實數的取值范圍是
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，點
滿足
，記點的軌跡為
.斜率為
的直線
過點
，且與軌跡相交于
兩點.
（1）求軌跡的方程；
（2）求斜率的取值范圍；
（3）在
軸上是否存在定點
，使得無論直線繞點怎樣轉動，總有
成立？如果存在，求出定點；如果不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形
是正方形，四邊形
是梯形，
∥
，
，平面
平面，且
.
（Ⅰ）求證：
∥平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）已知點
在棱上，且異面直線
與
所成角的余弦值為
，求線段
的長．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四面體ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，
，AD＝CD＝
，O是AC的中點，E是BD的中點．
（1）證明：DO⊥底面ABC；
（2）求二面角D-AE-C的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】口袋里裝有編號為1，2，3，4的四個小球，有放回的抽取兩次，記錄兩次取到小球的編號分別為
，
.獎勵規則如下：
①若
，則獎勵玩具一個；
②若
，則獎勵水杯一個；
③其余情況獎勵飲料一瓶.
小亮準備參加此項活動.
（Ⅰ）求小亮獲得玩具的概率；
（Ⅱ）請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為
，直線
與
軸的交點為
，與
的交點為
，且
．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）設過定點
的直線
與拋物線交于
，
兩點，連接
并延長交拋物線的準線于點
，當直線
恰與拋物線相切時，求直線
的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知a∈R，命題p：“x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命題q：“x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．
（1）若命題p為真命題，求實數a的取值范圍；
（2）若命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實數a的取值范圍．
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