Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且到焦點(diǎn)的距離為2.

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)是拋物線上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由拋物線的定義求解即可；

（2）設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線的方程分別為與拋物線聯(lián)立求交點(diǎn)，用坐標(biāo)表示斜率，斜率表示正切研究即可.

試題解析：

（1）由拋物線的定義知，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以.故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)點(diǎn)，由題意得 (否則,不滿足)，且，

設(shè)直線的方程分別為，

聯(lián)立解得；聯(lián)立，解得.

則由兩點(diǎn)式得直線的方程為.

化簡(jiǎn)得.①

因?yàn)?/span>，且得,

可得.②

將②代人①，化簡(jiǎn)得 ，

即,令,得.

所以直線恒過(guò)定點(diǎn).