Question

【題目】已知過原點的動直線與圓 相交于不同的兩點.

（1）求圓的圓心坐標；

（2）求線段的中點的軌跡的方程；

（3）是否存在實數，使得直線 與曲線只有一個交點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

(1)將方程化為標準式方程，可得到圓心坐標；（2）設線段的中點，直線的方程為聯立直線和圓的方程得到韋達定理，進而得到，，此時消去參數m即可得到軌跡方程；（3）結合第二問可得到曲線的軌跡，根據直線和圓的位置關系可得到滿足題意的結果.

（1）圓 化為，所以圓的圓心坐標為

（2）設線段的中點，直線的方程為（易知直線的斜率存在），則得：

.解得：

消去得：

又解得：或

的軌跡的方程為

（3）由題意知直線表示過定點 ，斜率為的直線.

表示的是一段關于軸對稱，起點為按順時針方向運動到的圓弧（不包含端點）.

由條件得：而當直線與軌跡相切時，，解得（舍去）.

可得當時，直線與曲線只有一個交點。

綜上所述，當時直線 與曲線只有一個交點.