Question

以下各個關于圓錐曲線的命題中
①設定點F₁（0，-3），F₂（0，3），動點P（x，y）滿足條件|PF₁|+|PF₂|=a（a＞0），則動點P的軌跡是橢圓或線段；
②過點（0，1）作直線，使它與拋物線y²=4x僅有一個公共點，這樣的直線有3條；
③離心率為

1

2

，長軸長為8的橢圓標準方程為

x2

16

+

y2

12

=1；
④若3＜k＜4，則二次曲線

x2

4-k

+

y2

3-k

=1的焦點坐標是（±1，0）．
其中真命題的序號為

②④

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：根據動點P（x，y）滿足條件|PF₁|+|PF₂|=a，當a＜6，動點P的軌跡不存在，當a=6，動點P的軌跡為線段，當a＞6，動點P的軌跡為橢圓，可分析①的真假；
根據點在拋物線開口外，則與拋物線交點只有一個的直線有3條，點在拋物線上，則與拋物線交點只有一個的直線有2條，點在拋物線開口內，則與拋物線交點只有一個的直線有1條，可分析②的真假；
根據離心率為

1

2

，長軸長為8，分焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種情況分別求出橢圓的標準方程，可判斷③的真假；
根據3＜k＜4，可分析出二次曲線

x2

4-k

+

y2

3-k

=1的圖象形狀及焦點位置，進而判斷④的真假；

解答：解：①中，若a＜6，則動點P的軌跡不存在，故①錯誤；
過點（0，1）作直線，使它與拋物線y²=4x僅有一個公共點，這樣的直線與拋物線相切（共有兩條），或與對稱軸平行（共有一條），共有3條，故②正確；
離心率為

1

2

，長軸長為8的橢圓標準方程為

x2

16

+

y2

12

=1或

x2

12

+

y2

16

=1，故③錯誤；
若3＜k＜4，則二次曲線

x2

4-k

+

y2

3-k

=1為雙曲線，則c²=（4-k）+（k-3）=1，此時c=1，且焦點在x軸上，故焦點坐標是（±1，0），故④正確
故答案為：②④

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了圓錐曲線的定義，性質及方程，熟練掌握圓錐曲線的定義，性質，標準方程是解答的關鍵．