Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= ，AF=1，M是線段EF的中點．

（1）求證：AM∥平面BDE；
（2）求證：AM⊥平面BDF；
（3）求A點到面BDF的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設底面對角線的交點為O，連接EO．

∵M為EF的中點，四邊形ACEF為矩形

∴EM∥AO且EM=AO

∴AM∥OE

又因為OE平面BDE 且AM平面BDE

∴AE∥平面BDE．

（2）證明：設AC與BD交于O點，連OF，OM

在矩形ACEF中四邊形， ，AF=1

所以，AOMF為正方形，故AM⊥OF

又正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，且交線為AC

在正方形ABCD中，故AC⊥BD

由面面垂直的性質定理，BD⊥面ACEF

又AM面ACEF

所以BD⊥AM

又BD∩OF=O，故AM⊥平面BDF

（3）解：VA﹣BDF=VF﹣ABD，設A到面BDF的距離為h，∴

∴

【解析】（1）證明四邊形AMEN是平行四邊形，可得AM∥OE，OE在平面BDE面內，AM在平面BDE面外，滿足線面平行的判定定理所需條件，從而證得結論；（2）證明AC⊥BD，BD⊥AM，又BD∩OF=O，即可證明AM⊥平面BDF；（3）利用VA﹣BDF=VF﹣ABD ， 求出A到面BDF的距離．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想即可以解答此題．