Question

（2013•紅橋區二模）已知橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=l（a＞b＞0）的一個頂點坐標為B（0，1），若該橢圓的離心率等于

3

2

．
（1）求橢圓的方程．
（2）設Q是橢圓上任意一點，F₁F₂分別是左、右焦點，求∠F₁QF₂的取值范圍；
（3）以B為直角頂點作橢圓的內接等腰直角三角形ABC，判斷這樣的三角形存在嗎？若存在，有幾個？若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得b，由離心率等于

3

2

結和a²=b²+c²可求a，則橢圓的方程可求；
（2）在三角形F₁QF₂中，利用橢圓定義及余弦定理可求∠F₁QF₂的取值范圍；
（3）假設這樣的三角形存在，設AB的方程為y=kx+1（k＞0），則BC的方程為y=-

1

k

x+1．把兩直線分別和橢圓聯立后求出A、C點的橫坐標，由|AB|=|AC|得到含有A、C橫坐標的等式，把A、C的橫坐標代入等式后即可求得k的值．

解答：解：（1）依題意，b=1，因為橢圓的離心率等于

3

2

，
所以

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

1

a2

=

3

4

，解得a²=4，
所以橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設|QF₁|=m，|QF₂|=n，則m+n=4，|F1F2|=2

3

，
在三角形F₁QF₂中，由余弦定理得：
cos∠F1QF2=

m2+n2-12

2mn

=

(m+n)2-2mn-12

2mn

=

4-2mn

2mn

=

2

mn

-1≥

2

(m+n)2 4

-1=-

1

2

，
當且僅當m=n時“=”成立．
所以-

1

2

≤cos∠F1QF2≤1，故0°≤∠F1QF2≤120°；
（3）假設這樣的三角形存在，設AB的方程為y=kx+1（k＞0），
則BC的方程為y=-

1

k

x+1．
聯立

y=kx+1 x2+4y2=4

，得（4k²+1）x²+8kx=0，解得xA=-

8k

1+4k2

①．
聯立

y=- 1 k x+1 x2+4y2=4

，得xC=-

8k

4+k2

②．
因為|AB|=|AC|，所以xA2+(yA-1)2=xC2+(yC-1)2，
將yA=kxA+1，yC=-

1

k

xC+1代入得：
k²（4+k²）²=（4k²+1）²，即[k（4+k²）+1+4k²][k（4+k²）-（1+4k²）]=0．
因為k＞0，k（4+k²）+1+4k²＞0，得（k-1）（k²-3k+1）=0，
解得k=1，k=

3+ 5

2

，k=

3- 5

2

，
所以存在這樣的等腰直角三角形．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，訓練了利用橢圓定義及余弦定理求解橢圓中與三角形有關的問題，考查了數學轉化思想方法，考查了學生的計算能力，是難題．