Question

已知函數.

（1）是否存在點，使得函數的圖像上任意一點P關于點M對稱的點Q也在函數的圖像上？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；

（2）定義，其中，求；

（3）在（2）的條件下，令，若不等式對且恒成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）存在，且點的坐標為；（2）；（3）的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）先假設點的坐標，根據圖象對稱的定義列式求出點的坐標即可；（2）利用（1）中條件的條件，并注意到定義中第項與倒數第項的和這一條件，并利用倒序相加法即可求出的表達式，進而可以求出的值；（3）先利用和之間的關系求出數列的通項公式，然后在不等式中將與含的代數式進行分離，轉化為恒成立的問題進行處理，最終利用導數或作差（商）法，通過利用數列的單調性求出的最小值，最終求出實數的取值范圍.

試題解析：（1）假設存在點，使得函數的圖像上任意一點P關于點M對稱的點Q也在函數的圖像上，則函數圖像的對稱中心為.

由，得，

即對恒成立，所以解得

所以存在點，使得函數的圖像上任意一點關于點M對稱的點也在函數的圖像上.

（2）由（1）得.

令，則.

因為①，

所以②，

由①+②得，所以.

所以.

（3）由（2）得，所以.

因為當且時，.

所以當且時，不等式恒成立.

設，則.

當時，，在上單調遞減；

當時，，在上單調遞增.

因為，所以，

所以當且時，.

由，得，解得.

所以實數的取值范圍是.

考點：函數的對稱性、倒序相加法、導數