Question

已知函數f(x)=1+cos2x-2sin2(x-

π

6

)，其中x∈R，則下列結論中正確的是（　　）

• A、f（x）是最小正周期為π的偶函數
• B、f（x）的一條對稱軸是x=

  π

  3

• C、f（x）的最大值為2
• D、將函數y=

  3

  sin2x的圖象左移

  π

  6

  得到函數f（x）的圖象

Answer 1

分析：先利用二倍角公式和和差化積公式對函數解析式進行化簡整理可求得f（-x）≠f（x）推斷出函數不是偶函數，排除A，令2x-

π

6

=2kπ，求得函數的對稱軸，進而可推斷出B不正確；根據余弦函數的值域可知函數的最大值為

3

排除C，根據圖象平移的法則可推斷出D項正確．

解答：解：f(x)=1+cos2x-2sin2(x-

π

6

)=cos2x+cos（2x-

π

3

）=2cos（2x-

π

6

）cos

π

6

=

3

cos（2x-

π

6

）
f（-x）=

3

cos（-2x-

π

6

）=

3

cos（2x+

π

6

）≠f（x）故不是偶函數，排除A；
令2x-

π

6

=2kπ，x=kπ+

π

12

，即x=kπ+

π

12

，為函數的對稱軸，故x=

π

3

不是函數的對稱軸排除B
∵

3

cos（2x-

π

6

）≤

3

，函數的最大值為

3

，排除C
將函數y=

3

sin2x的圖象左移

π

6

得到函數y=

3

cos（2x-

π

6

）的圖象即函數f（x）的圖象，故D正確．
故選D

點評：本題主要考查了三角函數的最值，周期性，對稱性以及三角函數的圖象變換．考查了基礎知識的綜合運用．