Question

【題目】在平行四邊形中，，，，是EA的中點（如圖1），將沿CD折起到圖2中的位置，得到四棱錐是．

（1）求證：平面PDA；

（2）若PD與平面ABCD所成的角為．且為銳角三角形，求平面PAD和平面PBC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； （2）

【解析】

（1）證明，，即可證明線面垂直；

（2）由線面角求得，以中點為坐標原點建立直角坐標系，由向量法求得二面角的余弦值.

（1）將沿CD折起過程中，平面PDA成立．證明如下：

是EA的中點，，，

在中，由余弦定理得，

，

，

，

為等腰直角三角形且，

，，，

平面PDA．

（2）由（1）知平面PDA，平面ABCD，

平面平面ABCD，

為銳角三角形，

在平面ABCD內的射影必在棱AD上，記為O，連接PO，平面ABCD，

則是PD與平面ABCD所成的角，

，

，

為等邊三角形，O為AD的中點，

故以O為坐標原點，過點O且與CD平行的直線為x軸，

DA所在直線為y軸，OP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

設x軸與BC交于點M，

，

易知

，

則，，，，

，，，

平面PDA，

可取平面PDA的一個法向量，

設平面PBC的法向量，

則，即，

令，則為平面PBC的一個法向量，

設平面PAD和平面PBC所成的角為，

由圖易知為銳角，

．

平面PAD和平面PBC所成角的余弦值為．