Question

函數f（x）在[a，b]上有定義，若對任意x₁，x₂∈[a，b]，有則稱f（x）在[a，b]上具有性質P．設f（x）在[1，3]上具有性質P，現給出如下命題：
①f（x）在[1，3]上的圖象是連續不斷的；
②f（x²）在[1，]上具有性質P；
③若f（x）在x=2處取得最大值1，則f（x）=1，x∈[1，3]；
④對任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]
其中真命題的序號是（ ）
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④

Answer 1

【答案】分析：根據題設條件，分別舉出反例，說明①和②都是錯誤的；同時證明③和④是正確的．
解答：解：在①中，反例：f（x）=在[1，3]上滿足性質P，
但f（x）在[1，3]上不是連續函數，故①不成立；
在②中，反例：f（x）=-x在[1，3]上滿足性質P，但f（x²）=-x²在[1，]上不滿足性質P，
故②不成立；
在③中：在[1，3]上，f（2）=f（）≤，
∴，
故f（x）=1，
∴對任意的x₁，x₂∈[1，3]，f（x）=1，
故③成立；
在④中，對任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，
有=
≤
≤
=[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]，

∴[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]，
故④成立．
故選D．
點評：本題考查的知識點為函數定義的理解，說明一個結論錯誤時，只需舉出反例即可．說明一個結論正確時，要證明對所有的情況都成立．