Question

【題目】已知函數f（x）=bx﹣axlnx（a＞0）的圖象在點（1，f（1））處的切線與直線平y=（1﹣a）x行．
（1）若函數y=f（x）在[e，2e]上是減函數，求實數a的最小值；
（2）設g（x）= ，若存在x1∈[e，e2]，使g（x1）≤ 成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=b﹣a﹣alnx，

∴f′（1）=b﹣a，

∴b﹣a=1﹣a，b=1，

∴f（x）=x﹣axlnx，

函數y=f（x）在[e，2e]上是減函數，

∴f′（x）=1﹣a﹣alnx≤0在[e，2e]上恒成立，

即a≥ 在[e，2e]上恒成立，

∵h（x）= 在[e，2e]上遞減，

∴h（x）的最大值是 ，

∴實數a的最小值是

（2）解：∵g（x）= = ﹣ax，

∴g′（x）= =﹣ + ﹣a，

故當 = 即x=e2時，g′（x）max= ﹣a，

若存在x1∈[e，e2]，使g（x1）≤ 成立，

等價于x1∈[e，e2]時，有g（x）min≤ 成立，

當a≥ 時，g（x）在[e，e2]上遞減，

∴g（x）min=g（e2）= ﹣ae2≤ ，故a≥ ﹣ ，

當0＜a＜ 時，由于g′（x）在[e，2e]上遞增，

故g′（x）的值域是[﹣a， ﹣a]，

由g′（x）的單調性和值域知：

存在x0∈[e，e2]，使g′（x）=0，且滿足：

x∈[e，x0），g′（x）＜0，g（x）遞減，x∈（x0，e2]，g′（x）＞0，g（x）遞增，

∴g（x）min=g（x0）= ≤ ，x0∈（e，e2），

∴a≥ ﹣ ＞ ﹣ ＞ ，與0＜a＜ 矛盾，不合題意，

綜上：a≥ ﹣

【解析】（1）求出函數的導數，得到b﹣a=1﹣a，解出b，求出函數的解析式，問題轉化為a≥ 在[e，2e]上恒成立，根據函數的單調性求出a的范圍即可；（2）問題等價于x1∈[e，e2]時，有g（x）min≤ 成立，通過討論a的范圍結合函數的單調性求出a的具體范圍即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．