Question

【題目】已知定義域為R的函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)．

（1）求實數(shù)a，b的值；

（2）判斷并用定義證明f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性；

（3）若對任意的x∈[1，2]，存在t∈[1，2]使得不等式f（x2+tx）+f（2x+m）＞0成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a=2，b=1；（2）見解析；（3）（-∞，-10）．

【解析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，列式f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1）可解得；

（2）先分離常數(shù)，判斷單調(diào)遞減，再用定義作差證明；

（3）先根據(jù)奇偶性和單調(diào)性將函數(shù)不等式變形，去掉函數(shù)符號后，先按照對x恒成立，在按照對t有解轉(zhuǎn)化為最值解決．

解（1）因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，即b-1=0，∴b=1，

又f（-x）=-f（x）∴f（-1）=-f（1），∴=-，∴a=2

綜上所述：a=2，b=1；經(jīng)檢驗滿足題意.

（2）由（1）知：f（x）=+，∴f（x）是R上的減函數(shù)，

證明如下：

設(shè)x1＜x2，則f（x1）-f（x2）=++

=，

∵x1＜x2，∴ ＜ ，∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）是R上的減函數(shù)，

（3）∵f（x2+tx）+f（2x+m）＞0

∴f（x2+tx）＞-f（2x+m）

∴f（x2+tx）＞f（-2x-m）

∴x2+tx＜-2x-m

∴m＜-x2-（2+t）x 對任意的x∈[1，2]恒成立，

∴，∴m＜-8-2t對t∈[1，2]有解，

∴m＜-8-2=-10，

所以實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-10）．