Question

已知橢圓，過點(diǎn)M（0，3）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（1）若l與x軸相交于點(diǎn)N，且A是MN的中點(diǎn)，求直線l的方程；
（2）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求當(dāng)|AB|＜時(shí)，實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），因?yàn)锳為MN的中點(diǎn)，且M的縱坐標(biāo)為3，N的縱坐標(biāo)為0，進(jìn)而求得y_l，又根據(jù)點(diǎn)A在橢圓C上，
代入即可求得x₁，則點(diǎn)A的坐標(biāo)可求．
（2）設(shè)直線AB的方程和點(diǎn)A，B，P的坐標(biāo)，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0求得k的范圍，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而表示出AB的長(zhǎng)度，求得k的范圍，進(jìn)而根據(jù)+=λ可知（x₁，y₁）十（x₂，y₂）=λ（x₃，y₃），進(jìn)而分當(dāng)λ≠0和λ=0時(shí)根據(jù)k的范圍確定λ的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），
因?yàn)锳為MN的中點(diǎn)，且M的縱坐標(biāo)為3，N的縱坐標(biāo)為0，
所以y_l=，
又因?yàn)辄c(diǎn)A（x_l，y_l）在橢圓C上，
所以x₁²+=1，即=1，解得x₁₌±，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）或（-，），
所以直線l的方程為6x-7y+21=0或6x+7y-21=0．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+3或x=0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），
當(dāng)AB的方程為x=0時(shí)，|AB|=4＞，與題意不符．
當(dāng)AB的方程為y=kx+3時(shí)：
由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組的解，
消去y得（4+k²）x²+6kx+5=0，
所以△=（6k）²-20（4+k²）＞0，即k²＞5，
則x₁+x₂=，x₁•x₂=，y₁+y₂=（kx₁+3）+（kx₂+3）=
因?yàn)閨AB|=，
所以•，解得-＜k²＜8
所以5＜k²＜8．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183651139174233/SYS201310241836511391742018_DA/22.png">+=λ，即（x₁，y₁）十（x₂，y₂）=λ（x₃，y₃），
所以當(dāng)λ=0時(shí)，由+=0，得x₁+x₂==0，y₁+y₂==0，
上述方程無解，所以此時(shí)符合條件的直線l不存在；
當(dāng)λ≠0時(shí)，x₃==-，y₃=
因?yàn)辄c(diǎn)P（x₃，y₃）在橢圓上，
所以[]²+[]²=1化簡(jiǎn)得λ²=，
因?yàn)?＜k²＜8，所以3＜λ²＜4，
則λ∈（-2，-）∪（，2）．
綜上，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（-2，-）∪（，2）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與橢圓的關(guān)系，解析幾何的知識(shí)，解不等式．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．