Question

【題目】已知某種商品每日的銷售量y（單位：噸）與銷售價格x（單位：萬元/噸，1＜x≤5）滿足：當1＜x≤3時，y=a（x﹣4）2 +（a為常數）；當3＜x≤5時，y=kx+7（k＜0），已知當銷售價格為3萬元/噸時，每日可售出該商品4噸，且銷售價格x∈（3，5]變化時，銷售量最低為2噸．

（1）求a，k的值，并確定y關于x的函數解析式；

（2）若該商品的銷售成本為1萬元/噸，試確定銷售價格x的值，使得每日銷售該商品所獲利潤最大．

Answer 1

【答案】（1），；

（2）x=2萬元/噸時，每日銷售該商品所獲利潤最大．

【解析】

試題分析：（1）根據已知給出的表達式，由條件“銷售價格為3萬元/噸時，每日可售出該商品4噸，且銷售價格x∈（3，5]變化時，銷售量最低為2噸”，可求得，從而函數解析式，注意解析式是分段函數；

（2）由（1）中所得銷售量乘以可得利潤，當1＜x≤3時，利潤為

，利用導數的知識可求得此時的最大值，當3＜x≤5時，每日銷售利潤f（x）=（﹣x+7）（x﹣1）=﹣x2+8x﹣7，由二次函數的性質可求得此時的最大值，兩者比較可得最大值．

試題解析：（1）因為x=3時，y=4；所以a+3=4，得a=1

當3＜x≤5時，y=kx+7（k＜0）在區間（3，5]單調遞減，當x=5時，ymin=5k+7

因為銷售價格x∈（3，5]變化時，銷售量最低為2噸，所以5k+7=2，得k=﹣1

故．

（2）由（1）知，當1＜x≤3時，

每日銷售利潤=x3﹣9x2+24x﹣10（1＜x≤3）

f'（x）=3x2﹣18x+24. 令f'（x）=3x2﹣18x+24＞0，解得x＞4或x＜2

所以f（x）在[1，2]單調遞增，在[2，3]單調遞減

所以當x=2，f（x）max=f（2）=10，

當3＜x≤5時，每日銷售利潤f（x）=（﹣x+7）（x﹣1）=﹣x2+8x﹣7=﹣（x﹣4）2+9

f（x）在x=4時有最大值，且f（x）max=f（4）=9＜f（2）

綜上，銷售價格x=2萬元/噸時，每日銷售該商品所獲利潤最大．