Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx-1，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)[40，50）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)的圖象可由函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）利用先向右平移

π

6

個(gè)單位，進(jìn)而縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的

1

2

，最后橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx-1
=1-cos2x+

3

sin2x-1
=

3

sin2x-cos2x
=2sin（2x-

π

6

），
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（Ⅱ）y=sinx

向右平移 π 6 個(gè)單位

y=sin（x-

π

6

）

縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的 1 2

y=sin（2x-

π

6

）

橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍

y=2sin（2x-

π

6

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，及三角函數(shù)圖象的變換．考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的靈活運(yùn)用．