Question

【題目】已知函數（， ， ），是自然對數的底數．

（Ⅰ）當， 時，求函數的零點個數；

（Ⅱ）若，求在上的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ） ， ，由導數性質得是（0，+∞）上的增函數，是（-∞，0）上的減函數，由此能求出f（x）的零點個數．
（Ⅱ）當x∈[-1，1]時， ，由導數性質得f（x）是[-1，0]上的減函數，[0，1]上的增函數，由此利用導數性質和構造法能求出a的取值范圍．

試題解析：

（Ⅰ），∴，∴，

當時， ，∴，故是上的增函數，

當時， ，∴，故是上的減函數，

， ，∴存在是在上的唯一零點；

， ，∴存在是在上的唯一零點，

所以的零點個數為2．

（Ⅱ） ，

當時，由，可知， ，∴，

當時，由，可知， ，∴，

當時， ，

∴是上的減函數， 上的增函數，

∴當時， ， 為和中的較大者．

而，設（），

∵ （當且僅當時等號成立），

∴在上單調遞增，而，

∴當時， ，即時， ，∴．

∴在上的最大值為.