Question

如圖1，E，F，G分別是邊長為2的正方形ABCD所在邊的中點，沿EF將△CEF截去后，又沿EG將多邊形折起，使得平面DGEF丄平面ABEG得到如圖2所示的多面體．
（1）求證：FG丄平面BEF₁
（2）求二面角A-BF-E的大��；
（3）求多面體ADG-BFE的體積．

Answer 1

分析：（1）由已知中平面DGEF丄平面ABEG，我們易根據面面性質的性質得BE⊥面DGEF，進而BE⊥FG，結合EF⊥FG，及線面垂直的判定定理，即可得到FG丄平面BEF₁
（2）建立空間直角坐標系，分別求出平面ABF與平面BEF的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角A-BF-E的大��；
（3）連接BD、BG將多面體ADG-BFE分割成一個四棱錐B-EFDG和一個三棱錐D-ABG，分別求出求出棱錐的底面面積和高，代入棱錐的體積公式，即可得到答案．

解答：證明：（1）∵面DGEF⊥面ABEG，且BE⊥GE，
∴BE⊥面DGEF，得BE⊥FG．
又∵GF²+EF²=（

2

）²+（

2

）²=4=EG²，
∴∠EFG=90°，有EF⊥FG．
而BE∩EF=E，因此FG⊥平面BEF．（4分）
解：（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），B（1，2，0），E（0，2，0），F（0，1，1），
于是，

FA

=（1，-1，-1），

FB

=（1，1，-1），

FE

=（0，1，-1）．
設相交兩向量

FA

、

FB

的法向量為n₁=（x₁，y₁，z₁），
則由n₁⊥

FA

，得x₁-y₁-z₁=0；由n₁⊥

FB

，得x₁+y₁-z₁=0．
解得y₁=0，x₁=z₁，因此令n₁=（1，0，1）．
事實上，由（1）知，平面BEF的一個法向量為n₂=（0，1，1）．
所以cos＜n₁，n₂＞=

n1•n2

|n1| •|n2|

=

1×0+0×1+1×1

1+1 •  1+1

=

1

2

，兩法向量所成的角為

π

3

，
從二面角A-BF-E大小為

2π

3

．（8分）
（3）連接BD、BG將多面體ADG-BFE分割成一個四棱錐B-EFDG和一個三棱錐D-ABG，
則多面體的體積V=V_B-EFDG+V_D-ABG=

1

3

•

1

2

（1+2）•1•1+

1

3

•

1

2

•2•1•1=

1

2

+

1

3

=

5

6

．（12分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，棱錐的體積，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關鍵是證得BE⊥FG，EF⊥FG，（2）的關鍵是建立空間坐標系，將二面角問題轉化為向量夾角問題，（3）的關鍵是連接BD、BG將多面體ADG-BFE分割成一個四棱錐B-EFDG和一個三棱錐D-ABG．