Question

如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，AD=1，E，F(xiàn)，G分別是DD₁，AB，CC₁的中點(diǎn)，則異面直線A₁E與GF所成角為（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

Answer 1

分析：連接B₁G，EG，先利用長(zhǎng)方形的特點(diǎn)，證明四邊形A₁B₁GE為平行四邊形，從而A₁E∥B₁G，所以∠B₁GF即為異面直線A₁E與GF所成的角，再在三角形B₁GF中，分別計(jì)算三邊的長(zhǎng)度，利用勾股定理即可得此角的大小

解答：解：如圖：連接B₁G，EG
∵E，G分別是DD₁，CC₁的中點(diǎn)，
∴A₁B₁∥EG，A₁B₁=EG，∴四邊形A₁B₁GE為平行四邊形
∴A₁E∥B₁G，∴∠B₁GF即為異面直線A₁E與GF所成的角
在三角形B₁GF中，B₁G=

B1C12+C1G2

=

1+1

=

2

FG=

FC2+C G2

=

2+1

=

3

B₁F=

B1B2+BF2

=

4+1

=

5

∵B₁G²+FG²=B₁F²
∴∠B₁GF=90°
∴異面直線A₁E與GF所成角為90°
故選 D

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間異面直線所成的角的作法、證法、算法，長(zhǎng)方體的性質(zhì)及其中的數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的思想方法