Question

（本題滿分16分）已知數列中,, 為實常數）,前項和恒為正值，且當時,.
⑴求證:數列是等比數列；
⑵設與的等差中項為,比較與的大小；
⑶設是給定的正整數，.現按如下方法構造項數為有窮數列：
當時，；
當時，.
求數列的前項和.

Answer 1

（本題滿分16分）
解:⑴當時, ,
化簡得,                         .………………………2分
又由,得, 解得,
∴，也滿足,         .………………………4分
而恒為正值, ∴數列是等比數列.                .………………………5分
⑵的首項為1，公比為，.當時,,
∴.
當時,,
此時                                         . .……………………7分                
當時,
.
∵恒為正值∴且,
若,則,   若,則.    .……………………10分
綜上可得,當時, ；
當時，若，則，  若,則 .……………………11分
⑶∵ ∴ ,當時, .
若,則由題設得

 ..……………………13分若,則
.
綜上得.           .………………………16分

略