Question

（本題滿分16分）
對于數列，如果存在一個正整數，使得對任意的（）都有成立，那么就把這樣一類數列稱作周期為的周期數列，的最小值稱作數列的最小正周期，以下簡稱周期.例如當時是周期為的周期數列，當時是周期為的周期數列.
（1）設數列滿足（），（不同時為0），求證：數列是周期為的周期數列，并求數列的前2012項的和；
（2）設數列的前項和為，且.
①若，試判斷數列是否為周期數列，并說明理由；
②若，試判斷數列是否為周期數列，并說明理由；
（3）設數列滿足（），，，數列的前項和為，試問是否存在實數，使對任意的都有成立，若存在，求出的取值范圍；不存在，說明理由.

Answer 1

（1）證明：又，
所以是周期為6的周期數列，………………2分
.
所以.………4分
解：（2）當時，，又得.………6分
當時,
，
即或.…………6分
①由有，則為等差數列，即，
由于對任意的都有，所以不是周期數列.…………8分
②由有，數列為等比數列，即，
存在使得對任意都成立，
即當時是周期為2的周期數列.…………10分
（3）假設存在，滿足題設.
于是又即，
所以是周期為6的周期數列，的前6項分別為，…12分
則（），……14分
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
所以，為使恒成立，只要，即可，
綜上，假設存在，滿足題設，，.……16分

略