Question

已知sinx+2siny=1，且siny+cos²x-m≥0對(duì)任意的x，y∈R恒成立，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知條件利用三角函數(shù)推導(dǎo)出m≤-4sin²y+5siny=-4（siny-

5

8

）²+

25

16

．由此能求出結(jié)果．

解答： 解：∵sinx+2siny=1，且siny+cos²x-m≥0對(duì)任意的x，y∈R恒成立，
∴sin²x=（1-2siny）²=4sin²y-4siny+1，
cos²x=-4sin²y+4siny，
siny+cos²x-m=5siny-4sin²y-m≥0，
∴m≤-4sin²y+5siny
=-4（sin²y-

5

4

siny）
=-4（siny-

5

8

）²+

25

16

．
∵

siny∈[-1，1] 1-2siny∈[-1，1]

，∴siny∈[0，1]，
∴m≤（-4sin²y+siny）_min=0，
即m≤0．
故答案為：（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)知識(shí)和配方法的合理運(yùn)用．