Question

【題目】已知橢圓的離心率為，是橢圓上一點.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)過橢圓右焦點的直線與橢圓交于兩點，是直線上任意一點.證明：直線的斜率成等差數列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】分析：（1）由橢圓的離心率為，以及點M在橢圓上，結合a，b，c關系列出方程組求解即可；

（2）分過橢圓右焦點的直線斜率不存在和存在兩種情況，進行整理即可.

詳解：（1）；

(2)因為右焦點,

當直線的斜率不存在時其方程為，

因此，設，則，

所以且，

所以，，

因此，直線和的斜率是成等差數列.

當直線的斜率存在時其方程設為，

由得，，

所以，

因此，，

，

，

，

所以，，

又因為，

所以有,

因此，直線和的斜率是成等差數列，

綜上可知直線和的斜率是成等差數列.