Question

在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面是以角∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB′=3a，D是A′C′的中點．
（1）證明：A′B∥平面B′CD；
（2）在側棱AA′上是否存在點E，使CE⊥平面B′D E．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連結B′C，BC′，交于點E，連結DE，由三角形中位線得DE∥A′B，由此能證明A′B∥平面B′CD．
（2）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BB′為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能推導出側棱AA′上是不存在點E，使CE⊥平面B′DE．

解答： （1）證明：連結B′C，BC′，交于點E，連結DE，
∵BB′C′C是矩形，∴E是B′C的中點，
D是A′C′的中點，∴DE∥A′B，
∵DE?平面B′CD，A′B不包含于平面B′CD，
∴A′B∥平面B′CD．
（2）解：以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BB′為z軸，
建立空間直角坐標系，
則B′（0，0，3a），A（2a，0，0），A′（2a，0，3a），C′（0，2a，3a），
D（a，a，3a），設E（2a，0，t），C（0，2a，0），

DE

=（a，-a，t-3a），

DB′

=（-a，-a，0），

CE

=（2a，-2a，t），
設平面B′DE的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • DE =ax-ay+(t-3a)z=0 n • DB′ =-ax-ay=0

，取x=1，得

n

=(1，-1，

2a

3a-t

)，
∵CE⊥平面B′DE，
∴

1

2a

=

2a 3a-t

t

，∴t²-3at+4a²=0，
△=9a²-16a²＜0，
∴側棱AA′上是不存在點E，使CE⊥平面B′DE．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．