Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）求橢圓的極坐標方程和直線的直角坐標方程；

（2）若點的極坐標為，直線與橢圓相交于，兩點，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）由橢圓的參數方程消參數可得橢圓的普通方程，再將代入橢圓的普通方程即可求得橢圓的極坐標方程，由即可將直線的極坐標方程化為直角坐標方程，問題得解。

（2）求出點的直角坐標為，即可設直線的參數方程為，聯立橢圓方程與直線參數方程，可得：，，結合直線參數方程中參數的幾何意義可得 ，問題得解。

（1）橢圓的普通方程為，

將代入整理得：

橢圓的極坐標方程為，

由得直線的直角坐標方程為：；

（2）設點，對應的參數分別為，，

點的直角坐標為：，它在直線上.

設直線的參數方程為（為參數），

代入，得，

化簡得，所以，

由直線參數方程的幾何意義可得：

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