Question

如圖，已知正四面體ABCD的棱長為3cm．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）已知點E是CD的中點，點P在△ABC的內部及邊界上運動，且滿足EP∥平面ABD，試求點P的軌跡；
（3）有一個小蟲從點A開始按以下規則前進：在每一個頂點處等可能地選擇通過這個頂點的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，當它爬了12cm之后，求恰好回到A點的概率．

Answer 1

分析：（1）取BC中點M，連AM、DM，由△ABC及△BCD均為正三角形，可得BC⊥AM，BC⊥DM；進而可得BC⊥平面ADM，由線面垂直的性質可得證明；
（2）取BC中點M，連接EM，并取AC的中點Q，連QE，QM，根據線面平行的判定定理可得：EQ∥平面ABD，MQ∥平面ABD，再結合面面平行的判定定理得到：平面QEM∥平面ABD，進而得到點P的軌跡為線段QM．
（2）由題意可得：小蟲共走過了4條棱，并且得到基本事件總數為81，再分別討論當小蟲走第1條棱時，第2條棱，第3條棱的所有走法，即可得到小蟲走12cm后仍回到A點的所有走法為21種，進而根據等可能事件的概率公式求出答案．

解答：解：（1）證明：取BC中點M，連AM、DM，
因△ABC及△BCD均為正三角形，故BC⊥AM，BC⊥DM．
因AM，DM為平面ADM內的兩條相交直線，
故BC⊥平面ADM，于是BC⊥AD．
（2）連接EM，并取AC的中點Q，連QE，QM．于是EQ∥AD，故EQ∥平面ABD．
同理MQ∥平面ABD．
因EQ，MQ為平面QEM內的兩條相交直線，
故平面QEM∥平面ABD，從而點P的軌跡為線段QM．       
（3）依題設小蟲共走過了4條棱，每次走某條棱均有3種選擇，
故所有等可能基本事件總數為3⁴=81．                                
走第1條棱時，有3種選擇，不妨設走了AB，然后走第2條棱為：或BA或BC或BD．
若第2條棱走的為BA，則第3條棱可以選擇走AB，AC，AD，計3種可能；
若第2條棱走的為BC，則第3條棱可以選擇走CB，CD，計2種可能；
同理第2條棱走BD時，第3棱的走法亦有2種選擇．                     
故小蟲走12cm后仍回到A點的選擇有3×（3+2+2）=21種可能．
于是，所求的概率為

21

81

=

7

27

．

點評：本題考查等可能事件的概率、線線垂直、線面平行的性質與判定，是一道綜合題；解題時要注意結合三棱錐的幾何結構特征，進行概率計算．